Claude helpt wiskundigen aan record voor elliptische krommen

Achttien jaar stond het wereldrecord voor de ‘moeilijkste’ elliptische kromme op rang 28. Twee jaar geleden werd het 29. Nu hebben wiskundige Levent Alpöge en cryptograaf Ava Howell in een paar dagen tijd krommen gevonden met rang 30 en rang 31. Ze deden dat samen met Claude, het taalmodel van Anthropic, zo schrijft Scientific American.

Wat is de rang van een kromme?

Een elliptische kromme is een vergelijking van de vorm y² = x³ + ax + b. Wiskundigen zijn vooral geïnteresseerd in de punten op zo’n kromme met rationale coördinaten, dus breuken. Uit een klein aantal van die punten kun je er vaak oneindig veel nieuwe afleiden. De rang is het aantal onafhankelijke ‘startpunten’ dat je daarvoor nodig hebt. Hoe hoger de rang, hoe ingewikkelder de structuur.

Krommen met een hoge rang vinden is berucht lastig. Volgens het overzicht van rangrecords dat de Kroatische wiskundige Andrej Dujella bijhoudt vond Noam Elkies in 2006 een kromme met rang 28. Pas in 2024 verbeterden Elkies en Zev Klagsbrun dat naar 29. Of de rang onbeperkt kan groeien, is een van de open vragen in de getaltheorie.

Twee records binnen drie dagen

Onderzoeksinstituut Epoch AI had het vinden van een kromme met rang 30 opgenomen in zijn lijst van open wiskundeproblemen voor FrontierMath. Op 20 augustus verscheen op het bijbehorende leaderboard een kromme met rang van minstens 30, drie dagen later gevolgd door een kromme met rang van minstens 31. Beide staan op naam van Alpöge, Howell en Claude. Epoch AI tekent aan dat de rang precies 30 en 31 is, mits je twee beroemde onbewezen vermoedens aanneemt: het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer en de gegeneraliseerde Riemannhypothese.

Een uitkomst als deze is makkelijk te controleren. Wie de kromme en de 31 onafhankelijke punten heeft, kan relatief eenvoudig nagaan of het klopt, schrijft Epoch AI. Dat maakt het record minder omstreden dan de claim van OpenAI over Navier-Stokes, waar vooral de vraag wie de eer verdient discussie opleverde.

Welke rol speelde Claude?

Hier zit de kanttekening. Alpöge werkt als wiskundige bij Anthropic en beide onderzoekers hebben jarenlange ervaring met elliptische krommen. Ze gebruikten volgens Scientific American een relatief eenvoudige prompt, maar wel met een interne variant van Claude die niet publiek beschikbaar is. Hoe het model precies zocht en hoeveel rekenwerk daarbij kwam kijken, staat nog niet in een publicatie. Op Threads sprak een wiskundeaccount al de hoop uit dat die details nog volgen.

Het past in een reeks. Eerder deze maand formaliseerde Claude de laatste stelling van Fermat in Lean en hielp AI wiskundigen aan een bewijs rond de Euler-vergelijkingen.

Wat betekent dit?

Voor de getaltheorie is het een concreet resultaat: een record dat bijna twee decennia muurvast zat, schuift in één zomer twee stappen op. Voor gewone gebruikers verandert er weinig. Het model is intern, en de beveiliging van elliptische-krommecryptografie hangt niet af van dit soort rangrecords.

Interessanter is de werkverdeling. Ervaren specialisten stelden de juiste vraag en controleerden de uitkomst, het model deed het zoekwerk. Niet iedereen is daar gerust op: Fields-medaillewinnaars waarschuwden onlangs in een brief voor de gevolgen van AI voor het vak. Zolang niet duidelijk is hoe Claude tot de krommen kwam, blijft onbekend hoeveel van het record bij het model ligt en hoeveel bij de mensen die het aanstuurden.